Comprensión de los conceptos básicos del cálculo de límites: una guía paso a paso

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El estudio del cálculo de límites implica examinar la reacción de funciones, a medida que sus entradas se acercan a ciertos valores. Este concepto es muy importante para entender el concepto de límite, que describe el valor al que se acerca una función cuando su entrada se acerca arbitrariamente a un determinado valor.

Al analizar el comportamiento de una función cerca de un punto particular, los matemáticos pueden determinar los límites de la función en ese punto. Este conocimiento es muy importante para una variedad de aplicaciones matemáticas, como determinar la tasa de cambio instantánea de una función o determinar la convergencia o divergencia de una secuencia numérica.

Esta lección ofrece una idea del concepto de cálculo de límites con una guía paso a paso que comienza desde lo básico. Cubrirá temas como qué es un límite, tipos de límites en cálculo, reglas básicas de límites algebraicamente y brindará técnicas simples para evaluar límites. La publicación podría incluir ejemplos claros y explicaciones para ayudar a los principiantes a comprender los conceptos fácilmente.

¿Qué es un límite?

El límite de una función representa el valor al que la función se acerca a un punto arbitrariamente determinado de la entrada (variable independiente). Algebraicamente, denotamos el límite de una función f(x) cuando x tiende a a (x → a):

Esta afirmación muestra que cuando x se acerca arbitrariamente a a, el valor de f(x) se acerca a L.

Tipos de límites

Nos enfrentamos a diferentes tipos de límites cuando resolvemos en cálculo. A continuación se muestran algunos tipos comunes de límites en cálculo;

Límites finitos

A medida que la variable independiente “x” se acerca a cierto punto de manera arbitraria, la función f(x) se acerca a cierto número real.

límx→af(x) = N

Donde N debe ser un número finito.

Límites infinitos

A medida que la variable independiente “x” se acerca a cierto punto, el valor de la función f(x) se vuelve arbitrariamente grande y llega al infinito (positivo o negativo).

límx→af(x) =±∞

Límites al infinito

El comportamiento de una función cuando la entrada se acerca al infinito (±∞) se describe mediante este tipo de límite. El valor de la función puede ser finito o infinito (±).

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límx→±∞ f(x) =±∞ olímx→±∞ f(x) =l

Límites unilaterales

Los límites unilaterales se dividen en límites del lado derecho (cuando el límite se acerca por la derecha) y límites del lado izquierdo (cuando el límite se acerca por la izquierda). El límite derecho comienza en infinito positivo y se acerca al punto especificado. El límite izquierdo se acerca a este punto desde el infinito negativo.

El límite derecho:

límx→a+ f(x) = L

El límite de la izquierda:

límx→a- f(x) = L

Se dice que una función tiene un límite de continuidad si se aproxima al mismo punto particular utilizando ambos límites (izquierdo y derecho).

límx→a+ f(x) = límx→a- f(x) = L

Reglas básicas de límites

Necesitamos seguir algunas reglas y regulaciones para calcular los límites de cualquier función. Aquí se analizan a continuación. Si f(x) y g(x) son dos expresiones diferentes de la misma función:

  1. El límite de una función constante multiplicada por es la constante multiplicada por el límite de la función.

limx→a [cf(x)] = c limx→af(x)

  1. La suma o diferencia de las dos funciones es la suma o diferencia de los límites.

límx→a [f(x)±g(x)] = límx→af(x)±límx→ag(x)

  1. El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites.

límx→a [f(x). g(x)] = (limx→af(x)) (limx→ag(x))

  1. El límite de una función racional es el cociente de sus límites si el denominador es distinto de cero.

limx→a [f(x)/g(x)] = limx→af(x) / limx→ag(x), donde [limx→ag(x)≠0]

  1. Mientras el exponente sea real, el límite de una función potencia es igual a la potencia de su límite.

límx→a [f(x)]2 = [límx→af(x)]2

Técnicas para evaluar límites

Existen varias técnicas para evaluar límites en cálculo. La elección de la técnica depende a menudo de la forma de la expresión y del límite específico que se considere. A continuación se muestran algunas técnicas comunes:

Sustitución directa:

La sustitución directa se utiliza cuando la expresión se define en el punto donde se toma el límite.

es decir, limx→2 [x2 – 5] = 1 se puede sustituir directamente usando x = 2.

Método de factorización:

Cuando la expresión es una fracción y se pueden cancelar factores comunes.

es decir, limx→3 [x2 – 9/x – 3] = limx→3 [(x – 3) (x + 3)/ (x – 3)] se puede calcular después de factorizar.

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Sustitución de pares conjugados:

El método de pares conjugados se utiliza cuando se trata de raíces cuadradas en la expresión.

es decir, limx→3 [√x – 2/x + 4] se puede simplificar multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del numerador.

Teorema del emparedado:

El teorema de compresión se utiliza cuando la función está limitada por otras dos funciones con límites conocidos.

es decir, si alguna función en la forma g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x en algún intervalo, limx→ag(x) = L = limx→ah(x), entonces limx→af(x ) = L.

La regla de L’Hospital:

La regla de L’Hospital se utiliza cuando se trata de formas indeterminadas (0/0 o ∞/∞).

es decir, limx→0 [x2 – 3x/x] = 0/0 se puede resolver tomando derivadas del numerador y el denominador.

También puede probar una calculadora límites para calcular el valor límite de acuerdo con los métodos de cálculo de límites con pasos

Ejemplos resueltos

Pregunta #1:

Calcular límx→2 (x4 + x2 – 1) /(x2 + 5)

Solución:

Dado f(x) = (x4 + x2 – 1) /(x2 + 5)

límx→2 f(x) = límx→2 (x4 + x2 – 1) / límx→2 (x2 + 5)

límx→2 f(x) = (24 + 22 – 1) /(22 + 5)

límx→2 f(x) = 19/9

Pregunta #2:límx→1 x3 – 1/ x – 1

Solución:f(x) = x3 – 1/x – 1

límx→1 f(x) = límx→1 x3 – 1/ x – 1

límx→1 f(x) = 0/0

La expresión dada da una forma indeterminada, ahora aplica la regla de L’hospital.

Tomando las derivadas de la expresión por separado.

d(x3 – 1)/dx = 3×2

d(x – 1)/dx = 1

Ahora,f(x) = 3×2/1

límx→1 f(x) = límx→1 3×2

límx→1 f(x) = 3

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En este contexto, hemos aclarado desde la base el tema de la comprensión de los límites en el cálculo. Leímos sobre los límites y sus diferentes tipos de límites, sus leyes básicas de evaluación y aprendimos varias técnicas para calcular. Los ejemplos sencillos resueltos brindan a los lectores un punto de comprensión sólido que ayuda a comprender el concepto. Estamos seguros de que después de leer este artículo, los lectores podrán resolver todas las preguntas en este tipo de contexto.

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